Рассмотрим теперь поподробнее понятие обратной функции, введённое в начале главы.

Если $ f:A\to B$-- взаимно-однозначное отображение (биекция), то для любого $ y\in B$ однозначно определен такой элемент $ x\in A$, что $ f(x)=y$. Тем самым однозначно определено соответствие $ y\mapsto x$, называемое обратной функцией по отношению к функции $ f$. Обратная функция для $ f$ обозначается $ f^{-1}$. Таким образом,

$\displaystyle f^{-1}:B\to A,\quad f^{-1}(y)=x\quad\Longleftrightarrow \quad f(x)=y,\ x\in A, y\in B.$

Очевидно, что согласно определению мы имеем тождество $ f^{-1}(f(x))=x$, то есть композиция $ f^{-1}\circ f$-- это тождественное отображение $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _A:A\to A$, $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _A(x)=x$ для любого $ x\in A$. Точно так же $ f(f^{-1}(y))=y$, то есть $ f\circ f^{-1}=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits _B$, $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _B:B\to B$, $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _B(y)=y$, если $ y\in B$.

Последнее утверждение означает, что функция, обратная к $ f^{-1}$, равна $ f$: $ (f^{-1})^{-1}=f$, то есть что функции $ f$ и $ f^{-1}$-- это две взаимно обратные функции.

Пример 1.21 Если $ f$-- ограничение функции $ \sin$ на отрезок $ [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ (это ограничение называется главной ветвью синуса), то отображение $ f:[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\to[-1;1]$-- биекция.

Рис.1.31.Главная ветвь синуса

Поэтому существует обратная функция $ f^{-1}$, называемая арксинусом и обозначаемая $ \arcsin$ или $ \sin^{-1}$ (второе обозначение употребляется в англоязычной математической и инженерной литературе). Таким образом,
$\displaystyle \arcsin:[-1;1]\to[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}],$
$\displaystyle {\varphi}=\arcsin x,$ если $\displaystyle \sin{\varphi}=x$ и $\displaystyle {\varphi}\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].$


Первым ее учителем по высшей математике была стена. Да, да! Не удивляйтесь, самая обыкновенная стена детской комнаты, оклеенная пожелтевшими листами литографированного курса высшей математики М. В. Остроградского, по которому когда-то учился сам отец, ныне отставной артиллерийский генерал.

Выпуклость функции