Способы задания функции: табличный,с помощью формулы

Таблица неопределенных интегралов
Два основных метода интегрирования
Предварительные сведения из алгебры
Разложение дроби на элементарные
Метод неопределенных коэффициентов
Интегрирование некоторых иррациональностей
Интегрирование дифференциальных биномов
Интеграл Римана Определения
Суммы Дарбу и их свойства
Нижний и верхний интегралы
Теорема Дарбу.
Классы интегрируемых функций
Свойства определенного интеграла
Пропускная способность в сетях связи
Теоремы о среднем
Производная интеграла по верхнему пределу
Формула Ньютона-Лейбница
Интегрирование по частям
Остаточный член формулы Тейлора
Некоторые применения определенного интеграла
Квадрируемые фигуры
Свойства площади
Площадь криволинейной трапеции
Вычисление площадей областей
Объем
Объем тела вращения
Площадь поверхности вращения
Первая теорема Гюльдена.
Несобственный интеграл первого рода
Критерий Коши
Несобственный интеграл второго рода
Признаки сравнения
Формула замены переменного
Функции Эйлера
Метрика. Расстояние.
Неравенство Коши-Буняковского
Теорема Больцано-Вейерштрасса
Геометрическая терминология
начертательная геометрия
История искусства
Сборник задач по физике
Атомная промышленность и наука
Применение MATLAB
при изучении курса электротехники
Имитационное моделирование
моделейПакет Simulink
Расчет электрических цепей
Моделирование цепей
переменного тока

 

 

Основные обозначения и определения

Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
$ \mathbb{R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел);
$ \mathbb{N}$ означает множество натуральных чисел $ \{1;2;3;4;\dots\}$;
$ \mathbb{Z}$ означает множество всех целых чисел $ \{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$;
$ \varnothing $ означает пустое множество; по определению, в нём нет ни одного элемента;
$ [a;b]$, $ [a;b)$, $ (a;b]$ и $ (a;b)$, где $ a\in\mathbb{R}$, $ b\in\mathbb{R}$, соответственно,-- замкнутые, полуоткрытые и открытые промежутки: квадратная скобка означает, что соответствующий конец промежутка включается в множество, а круглая скобка-- что не включается;
$ (-\infty;b]$, $ (-\infty;b)$, $ (a;+\infty)$ и $ [a;+\infty)$, где $ a\in\mathbb{R}$, $ b\in\mathbb{R}$-- замкнутые и открытые лучи (бесконечные промежутки);
$ (-\infty;+\infty)$-- числовая прямая, то же, что и $ \mathbb{R}$;
$ A\cup B$-- пересечение (общая часть) множеств $ A$ и $ B$;
$ A\cap B$-- объединение множеств $ A$ и $ B$ (все точки из $ A$ и все точки из $ B$);
$ A\diagdown B$-- множество тех элементов из $ A$, которые не принадлежат $ B$;
$ A\sbs B$-- включение $ A$ в $ B$ ($ A$-- это часть $ B$);
$ x\in A$-- принадлежность элемента $ x$ множеству $ A$ ($ x$ принадлежит $ A$);
$ x\notin A$-- элемент $ x$ не принадлежит множеству $ A$;
$ \{a;b;\dots;z\}$-- множество, состоящее из элементов $ a,b,\dots,z$; в частности, $ \{a\}$-- множество из одного элемента $ a$;
$ \{x\in A: P(x)\}$-- множество всех тех элементов $ x$ из $ A$, для которых выполняется свойство $ P(x)$

Первый способ задания функции: табличный

пример

Второй способ задания функции: с помощью формулы

Обзор некоторых элементарных функций

Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления

Во многих случаях функцию $ f$ приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся.

Композиция функций

Если даны два отображения $ {f:X\to U_1}$ и $ {g:U_2\to Y}$, где $ U_2\sbs U_1$, то имеет смысл "сквозное отображение" $ {x\mapsto u\mapsto y}$ из $ X$ в $ Y$, заданное формулой $ y=g(f(x))$, $ x\in X$, которое называется композицией функций $ f$ и $ g$ и обозначается $ g\circ f$.

Обратная функция

Если $ f:A\to B$-- взаимно-однозначное отображение (биекция), то для любого $ y\in B$ однозначно определен такой элемент $ x\in A$, что $ f(x)=y$. Тем самым однозначно определено соответствие $ y\mapsto x$, называемое обратной функцией по отношению к функции $ f$. Обратная функция для $ f$ обозначается $ f^{-1}$.

Примеры и упражнения

Упражнения

Упражнение 1.6 Пусть $ f(x)=\arcsin x$, $ x\in[-1;1]$, $ g(u)=\cos u$, $ u\in\mathbb{R}$. Тогда определены композиции $ f\circ g$ и $ g\circ f$. Докажите, что при $ x\in[-1;1]$ имеет место равенство $ (g\circ f)(x)=\sqrt{1-x^2}$. Выясните также, чему равна функция $ f\circ g$ и каков её график.

 

Непрерывность функций и точки разрыва

Определение непрерывности функции

Определение Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором интервале $ (a;b)$, для которого $ x_0$-- внутренняя точка. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

Примеры, упражнения

Определение точек разрыва

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{\vert x^2-x\vert}{x^2-x}$,

Пример   Функция $ f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ имеет при $ x=0$ разрыв второго рода, так как $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to0+$ и  

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)$, заданную равенством $\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\cos^nx.$

Свойства функций, непрерывных в точке

   Теорема Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ непрерывны в точке $ x_0$. Тогда функции $ h_1(x)=f(x)+g(x)$, $ h_2(x)=f(x)-g(x)$, $ h_3(x)=f(x)g(x)$ непрерывны в точке $ x_0$. Если $ g(x_0)\ne0$, то функция $ h_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ также непрерывна в точке $ x_0$.

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Определение

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)=\cos x-x$ на отрезке $ [0;\frac{\pi}{2}]$.

Теорема об ограниченности непрерывной функции

Теорема о достижении экстремума непрерывной функцией

Равномерная непрерывность

Примеры, упражнения

Непрерывность обратной функции

Теорема Пусть $ f$ -- непрерывная монотонная функция, $ \mathcal{D}(f)=[a;b]$, $ \mathcal{E}(f)=[c;d]$. Тогда обратная к $ f$ функция $ {\varphi}$ непрерывна на отрезке $ [c;d]$.

Гиперболические функции и ареа-функции

Гиперболическим синусом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}).$
Гиперболическим косинусом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}).$
Гиперболическим тангенсом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm th}\nolimits x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits x}{\mathop{\rm ch}\nolimits x}.$
Гиперболическим котангенсом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm cth}\nolimits x=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\dfrac{...
...\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}=\dfrac{1}{\mathop{\rm th}\nolimits x}.$

Примеры, упражнения

Примеры и упражнения

Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи

Пример

Пример

Общее определение предела

Пример

Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Общие свойства пределов

Первый и второй замечательные пределы

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

Пример

Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Сравнение бесконечно малых

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Пример

Упражнения на вычисление пределов

Формула Тейлора представления числовой функции многочленом

Многочлен Тейлора

Коэффициенты Тейлора

Остаток в формуле Тейлора и его оценка

Остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

Упражнение

Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования

Примеры

Выпуклость функции